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变范围搜索

Cherzing2024年8月8日大约 4 分钟数学建模

变范围搜索的基本介绍

变范围搜索算法（Variable Range Search Algorithm），也常被称为自适应搜索算法或动态范围搜索算法，是一种优化搜索过程的策略，其中搜索的范围（或步长）可以根据搜索过程中的某些条件或结果自适应地调整。这种算法常用于在多维空间中寻找最优解，例如在参数优化、机器学习、模拟退火等领域。

以下是变范围搜索算法的基本概念和步骤：

基本概念：

  • 搜索范围：在算法的每一步中，搜索范围定义了搜索空间的界限，即当前搜索的可能区域。
  • 自适应调整：根据搜索过程中的反馈，算法可以调整搜索范围的大小，以更有效地找到最优解。

基本步骤：

  1. 初始化：
    • 确定初始搜索范围。
    • 随机选择一个初始点作为当前解。
  2. 评估：
    • 计算当前解的目标函数值（通常是成本或得分）。
  3. 搜索范围调整：
    • 根据某种策略调整搜索范围。这可能基于当前解的质量、搜索历史的某些特性或其他条件。
  4. 生成新解：
    • 在当前搜索范围内生成一个或多个新解。这可以通过随机选择、启发式方法或其他搜索策略来完成。
  5. 接受准则：
    • 使用某种准则（如模拟退火的Metropolis准则）决定是否接受新解。这通常涉及到比较新解和当前解的目标函数值。
  6. 更新：
    • 如果新解被接受，则更新当前解为新解。
    • 调整搜索范围，准备下一次迭代。
  7. 终止条件：
    • 重复上述步骤，直到满足某个终止条件，如达到预定的迭代次数、搜索范围小于某个阈值或解的质量达到某个标准。

调整策略：

  • 成功历史：如果最近的几次搜索都找到了更好的解，可以缩小搜索范围以进行更精细的搜索。
  • 失败历史：如果最近的搜索未能找到更好的解，可以扩大搜索范围以探索更多的搜索空间。
  • 自适应步长：根据解的改进程度动态调整步长大小。

应用：

  • 优化问题：在连续优化问题中，变范围搜索算法可以帮助找到函数的最优值。
  • 机器学习：在机器学习中，变范围搜索可以用于调整模型的参数，以最小化损失函数。
  • 工程问题：在工程设计中，变范围搜索可以帮助找到最优的设计参数。

变范围搜索算法的优势在于其能够根据搜索过程中的信息自适应地调整搜索策略，从而提高搜索效率并可能更快地找到最优解。然而，它也有缺点，如搜索范围的调整策略可能需要精心设计，且算法的性能可能对初始参数的选择敏感。

举例：

以下是一个使用变范围搜索算法的简单例子，我们将使用它来寻找一个一维函数的最小值。假设我们想要最小化的函数是$ f(x)=x^{2} ，其中𝑥的定义域是 [−10,10] $

在这个例子中，我们将使用一个简单的变范围搜索策略，其中搜索范围会根据解的改进程度动态调整。如果新的解比当前解更好，我们将缩小搜索范围；如果新的解没有改进，我们将扩大搜索范围。

import random

# 定义目标函数
def f(x):
    return x ** 2

# 变范围搜索算法
def variable_range_search(lower_bound, upper_bound, max_iter, initial_range):
    x_current = random.uniform(lower_bound, upper_bound)
    f_current = f(x_current)
    range_current = initial_range
    
    for i in range(max_iter):
        # 在当前搜索范围内随机生成新解
        x_new = random.uniform(x_current - range_current, x_current + range_current)
        f_new = f(x_new)
        
        # 比较新解和当前解
        if f_new < f_current:
            # 接受新解，并缩小搜索范围
            x_current, f_current = x_new, f_new
            range_current *= 0.9  # 缩小10%
        else:
            # 拒绝新解，并扩大搜索范围
            range_current *= 1.1  # 扩大10%
        
        # 输出当前迭代的信息
        print(f"Iteration {i}: x = {x_current}, f(x) = {f_current}, Range = {range_current}")
        
        # 检查是否达到终止条件
        if range_current < 1e-6:
            break

    return x_current, f_current

# 运行变范围搜索算法
best_x, best_f = variable_range_search(-10, 10, 100, 5)
print(f"Best solution: x = {best_x}, f(x) = {best_f}")

在这个代码中，variable_range_search 函数接受以下参数：

  • lower_bound 和 upper_bound：搜索空间的下界和上界。
  • max_iter：最大迭代次数。
  • initial_range：初始搜索范围。

函数内部，我们使用一个循环来迭代搜索过程，每次迭代中，我们根据当前解的优劣来调整搜索范围。如果找到更好的解，我们缩小搜索范围；如果没有找到更好的解，我们扩大搜索范围。

请注意，这个例子非常简单，并且变范围搜索算法通常需要针对特定问题进行调整和优化。在实际应用中，可能需要考虑更多的细节和更复杂的调整策略。

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